<수학의 힘-장우석> 발췌 요약
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왜 우리는 수학을 공부해야 하는가?
수학을 공부하면 먹고 사는데 무슨 도움이 되나?
수학을 도대체 왜 공부해야 하는지 몰랐던, 그래서 수학공부에 대한 내적 동기가 부족했던
수학에 상처받은 어른들을 위한 수학 책입니다. 바로 제 이야기이기도 합니다.
늦었다고 생각할 때 한 걸음씩, 한 걸음씩.....
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“우리가 수학을 통해 습득할 수 있는 것은 근본 원리와 사고방식이지 개별 지식이 아니다.
수학이 논리적 사고력을 증진시킨다는 이야기도 백번 옳다. 하지만 논리적 사고력은 문제를 해결하면서 자동적으로 성장하는 것이 아니다. 그것은 의식적으로 훈련해야 할 그 무엇이다.
‘사고력 교육의 부족’과 ‘지식 교육의 과잉’의 결합이 우리의 학창시절 수학 시간을 괴롭게 하는 핵심 요인이라고 생각한다.
우리나라에는 학창 시절에 제대로 된 수학 학습의 경험을 통해 습득했어야 마땅한 능력을 갖추지 못한 어른들이 꽤 많다.
어렵기만 하고 어디에 쓰는지도 잘 모르는 수학을 도대체 왜 공부해야 하는지 그 이유가 궁금한 너무나 정상적인 호기심을 가진 학생들을 위한 것이기도 하다.
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수학은 계산이 아니다.
계산 능력 확보는 수학 학습의 핵심 목적 중 하나다. 그것은 틀리지 않고 계산을 수행하는 능력이 아니라 문제 상황을 이해하고 ‘적절한 식을 구성할 수 있는 능력’이다.
수학은 계산하는 학문이 아니라 헤아리는(thinking)학문이다. 헤아림이란 문제의 본질을 읽어내는 것이다.
20세기 미국의 교육심리학자 부르너는 수학 학습의 목표가 지식 획득이 아니라 지식을 만들어내는 구조의 내면화라고 말한 바 있다. 구조는 곧 본질이며 논리가 작동하는 길이다.“
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수학의 기본 요소-논리, 도형, 수
수학 학습의 목적이 문제 해결에 있다. 문제해결은 임의로 이루어지지 않고 ‘논리’라는 길을 따라 이루어진다.
논리는 문제의 시작에서 해결까지 일관되게 작용한다. 일관됨이 바로 논리의 생명이다.
수학은 수를 통해 문제를 해결하는 학문이다. 그리고 이러한 수가 인간의 감각(시각)을 통해 표현된 것이 도형이다. 정의
추상성이 높은 개념일수록 많은 것을 담을 수 있다. 수와 도형이라는 수학의 기초 언어는 추상적이면서도 명확하고 투명한 언어다.
우리는 수와 도형이라는 보편 언어를 통해 문제를 해결하고 그 과정에서 얻은 결과를 추상적으로 조직함(개념화)으로써 보다 일반적인 지식을 만들어내며 그 지식을 다시 새로운 문제에 응용할 수 있다. 그리고 이 과정에서 사물을 넓고 깊게 볼 수 있는 능력, 직접 경험하지 않은 대상까지 사유하고 이해할 수 있는 능력이 생겨난다. 이것이 수학 공부가 가진 가치다.
논리력, 기하력, 대수력이라는 기본 힘을 구축하는 것이 초. 중. 고 12년 동안 배운 수학의 핵심이다. 기하학, 대수학, 함수, 미적분, 확률, 통계, 벡터 등 고등 수학의 모든 것도 이 세 가지에서 나온다. 세 가지 힘(논리력, 기하력, 대수력)의 기본적인 내용만 이해하더라도 수학의 핵심을 장악한 것이다.
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1 생각의 흐름을 이끌어가는 힘, 논리력
확인된 사실로부터 새로운 사실을 이끌어내는 것을 추론(reasoning)이라고 한다. 개연 추론과 결론의 필연성이 보장되는 연역 추론의 두 가지가 있다.
개연추론에서는 순수 논리 이외에 직관이나 상상력 또는 주관적인 경험 등이 일부 가미되기 때문에 그만큼 결론의 필연성이 줄어든다. 연역추론에는 조금의 비약이나 억지도 끼어들지 않는다.
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1) 연역추론
아리스토텔레스 연역추론개념 정립
삼단논법과 정의하기가 있다.
삼단논법은 대전제와 소전제라는 두 가지 전제로부터 결론을 이끌어내는 기초적인 연역이며, 중간지점을 매개로 시작과 끝을 연결하는 기술이다. 하지만 삼단논법은 포함관계에 얽매여 있기 때문에 연역의 방향성이 고정되는 한계를 지니고 있다.
정의하기는 개념의 명확한 정의를 통해 결론을 유도해내는 기술이다.
제논의 역설. 잘못된 전제
역설이란 일반적으로 인정된 것들과 근본에서 대립되는 주장을 말한다. 제논의 역설의 문제는 정을 명확히 함으로써 그 속에 담긴 결론을 이끌어내는 것은 사고의 일관된 흐름, 즉 연역의 가장 기본적이면서도 핵심적인 방법이다.
문제해결에는 주체의 적극적인 사고를 통해 이루어지며 노력과 시행착오를 필요로 한다.
연역을 할 수 있는 능력은 논리력의 핵심이다. 하지만 추론은 연역만으로 달성되지 않는다.
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2) 개연 추론
귀납(INDUCTION)이란 관찰된 몇 가지 사실들 속에서 공통된 규칙이나 패턴을 발견하여 일반적인 판단을 끌어내는 방법이다.
관찰과 사고의 결합. 관찰과 사고의 비율이 문제마다 다르고 귀납의 방식도 다양.
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유추(ANALOGY)
귀납이 패턴의 발견이라면, 유추는 사례들 사이에 존재하는 유사성의 발견이다.
뉴턴의 유추- 사과와 달
유추는 유사성에 의존. 귀납보다는 근거가 약하다는 문제가 있다.
귀납과 유추는 개연추론의 대표적인 두 방법이다.
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3) 개연추론과 연역추론은 서로를 필요로 한다
논리력을 키우는 과정은 개연, 연역추론의 능력 모두를 향상시키는 과정이어야 한다.
연역추론과 개연추론은 문제해결 과정에서 논리가 흐르는 통로이며 두 통로는 하나로 연결된 통로이다.
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2 직관으로 추론하는 힘, 기하력
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문제 상황을 그림으로 나타내면 상황이 보다 ‘잘 보인다’.
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1) 직관의 세 축: 닮음, 같음 그리고 극한
탈레스- 만물의 원질은 물이다.
변화하는 현상을 통해 변화하지 않는 그 무엇, 변화 속에서, 변하지 않으면서 그 모든 변화를 가능케 하는 그 무엇이 존재한다는 발상을 했기 때문이다.
닮은 삼각형의 변의 길이들 사이에 존재하는 불변성(비례관계)을 통해 피라미드 높이를 구한 것은 그의 철학과 통하는 측면이 있다.
선분의 정의가 ‘단위길이’인 것처럼 직사각형의 넓이는 ‘단위넓이의 개수’로 정의할 수 있다.
길이 = 단위길이 개수, 넓이= 단위넓이 개수
삼각형의 넓이 공식 밑변길이*높이*1/2
넓이가 직사각형에서 시작되었듯이 부피는 직육면체에서 시작한다. 가로*세로*높이=밑면*높이
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3) 정의는 정의하기 나름
평행사변형 정의
정의할 수 있는 능력을 추상화능력이라고 한다.
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위상수학이란 연결 상태와 구조를 다루는 수학의 분야
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3 문자로 추론하는 힘, 대수력
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수의 자리를 문자로 대신한 대수
대수적 문제해결의 두 단계, 번역과 변형
이항과 묶음
사고 과정을 계산 과정으로 바꾼 불 대수.
문자를 통해서 문제 상황을 정리하고(번역) 이를 연역함으로써 답을 유도해내는(변형) 대수의 강력한 방법을 논리적 추론의 과정에 적용하여 합과 곱을 새롭게 정의하고자 0과 1이라는 두 가지 수만으로 명제들의 연역의 과정을 계산 과정으로 환원한 불 대수는, 추상화를 지향하는 수학적 사고의 본질과 그 강력한 힘을 잘 보여주는 사례라고 말할 수 있다.
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이러한 과정을 통해 수에 대한 정의가 달라지게 된다. 수가 먼저 있고 나서 그것들을 서로 곱하고 더하는, 죽 연산을 실행하는 것이 아니라 그 반대로 연산을 실행할 수 있는 대상이면 그것이 무엇이건 수로 불릴 수 있다는 전복적 정의다. 이 정의에 따르면 ‘연산 가능한, 즉 더하고 곱할 수 있는 모든 것’을 수로 부를 수 있다. 컴퓨터는 인간의 언어(일부이긴 하지만)를 수처럼 계산할 수 있다는 발상에서 시작되었다. 수학은 수를 다루는 학문이면서 동시에 더 많은 대상을 수로 보려는 인간의 노력이기도 하다.
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‘같음’을 새롭게 정의함으로써 우주의 생김새를 보려 한 기하학과, 합과 곱을 새롭게 정의함으로써 인간의 사고 과정을 보려 한 대수학은, 수학이 외적 환경을 탐구하는 자연과학과 인간의 내면을 탐구하는 인문과학의 모습을 가진, 통합적 인간학임을 잘 보여준다.
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수확의 확장 함수. 미적분
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함수는 긴 시간 동안 이루어진 기하(도형)와 대수(수)라는 숙성된 언어를 자연의 세계에 적용함으로써 자연의 복잡한 움직임 속에 존재하는 규칙성을 파악하려는 욕구에서 만들어진 개념이다. 즉 ‘변화의 규칙’이라는 생각이 함수라는 개념을 태어나게 한 산파다.
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