소수의 물리적 의미?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 이기두
?
앞의 글에서, 소수와 제타함수를 들여다본 이유는 수리와 물리의 관련성을 발견하기 위한 것이었습니다. 구체적으로는 조 진호 선생님이 ‘GENOME EXPRESS'에서 제시한 의문에서 추출한 4 가지 성질인 불변성, 규칙성, 주체성, 안정성의 수리적 의미를 찾아내는 것이 목적입니다. 이 4가지 성격은 수리에 의해서 만들어지는 물리적 성격으로서 수리와 물리의 관련성으로 보이고, 여기서 말하는 수리는 소수와 제타함수와 관련된 것으로 보입니다.
왜 ‘GENOME EXPRESS'에서 제시한 의문으로부터 추출한 4가지 성격만으로 수리와 물리의 관련성을 찾는가라고 묻는다면, 유전암호라는 단순한 수학적 실체로부터 생물이라는 체계가 극히 복잡하고, 혼란스러워질 수 있는 것을 이기고, 정교한 정보시스템이 구축되는 곳으로 가는 전체상을 볼 수 있는 극히 좁은 길목에서 본 의문이기 때문에 수리와 물리의 관련성을 설명하기에 유효한 의문이라고 보기 때문입니다.
조 진호 선생님이 ‘GENOME EXPRESS'에서 제시한 의문은 아래와 같았습니다.
?
“DNA와 단백질은 어떻게 오류 없이 상호작용하는가?
DNA는 어떻게 이토록 정교하게 복제되고 RNA로 전사되는가?
아미노산사슬은 어떻게 이토록 엄밀한 규칙을 유지하는가?
어떻게 생명체는, 세포는 어떻게, 분자세계의 불확실성을 극복하고, 보란 듯이 한 세대의 특질을 변함없이 다음 세대에 전달하는가?
세대를 잇는 생명과정은 어떻게 생겨나는가?
어떻게 무수한 세포는 서로 상호작용하면서, 정보를 차곡차곡 빈틈없이 전개해 나가고, 보다 거대한 개체의 질서를 확보하는가.
?
첫 번째. 불변성은 위 의문들 중에서 다음의 의문과 관련이 있습니다.
?
“아미노산사슬은 어떻게 이토록 엄밀한 규칙을 유지하는가?
어떻게 생명체는, 세포는 어떻게, 분자세계의 불확실성을 극복하고, 보란 듯이 한 세대의 특질을 변함없이 다음 세대에 전달하는가?”
?
물리적 항상성을 보장하는 것은 대칭성이라고 할 것입니다. 자연이 생기게 된 것은 대칭성 깨짐으로 인하여 지금 우리가 보는 현상이 되었다고 하지만, 자연의 바탕에 숨겨진 불변의 대칭성이 자연의 다른 성질인 규칙성, 주체성, 안정성을 가능하게 한다고 할 수 있습니다. 사실상 불변성은 대칭성이어서, 이 4가지 성질은 대칭성의 변형이고, 이 4가지 성질의 총합이 또한 불변성이라고 할 것입니다. 불변성은 알랭 콘느가 역설한 수학적 실체가 소수를 바탕으로 불변성을 갖는다는 생각에서 찾을 수 있습니다. 소수는 우주의 어느 별, 어느 갤럭시에서도 불변의 소수일 것이라는 생각이 수리의 불변성입니다.
수학자들이 난제의 해결에 도전하는 이유가 수학의 불변성을 찾기 위해서라고 합니다. 하디도 “언어는 죽지만 수학적 관념은 죽지 않는다.” 고 합니다.
불변성은 수리의 바탕이 되는 다른 3 가지 성질을 설명하면 좀 더 명확해 집니다.
?
두 번째. 규칙성은 위 의문들 중에서 다음의 의문과 관련이 있습니다.
?
“아미노산사슬은 어떻게 이토록 엄밀한 규칙을 유지하는가?
세대를 잇는 생명과정은 어떻게 생겨나는가?
어떻게 무수한 세포는 서로 상호작용하면서, 정보를 차곡차곡 빈틈없이 전개해 나가고,
보다 거대한 개체의 질서를 확보하는가.”
?
앞글에서 본 책 ‘소수의 음악’에서 “소수는 단순해 보이는 겉모습과 가장 기본적인 요소라는 특성에도 불구하고 소수는 수학자들의 탐구대상가운데 가장 신비로운 것으로 남아있다. 질서와 패턴을 찾고자하는 분야에서 소수는 궁극의 대상이다. 소수목록 어디를 살펴보아도 다음 소수가 어디에 나타날지 예측할 수가 없다.” 라고 합니다.
소수는 모든 수를 만드는 기본요소로서 질서의 중심에 있으나, 그 자체에서 전혀 질서를 발견할 수 없다는 딜레마가 수학자들을 혼란에 빠트렸고, 수학의 전체 역사를 통해서 최대의 난제가 되었습니다. 앞의 글에서 보았듯이, 아직도 완전하게 해결하지 못하고 있지만, 리만가설을 대상으로 한 수학자들과 물리학자들의 탐구로 어느 정도 이 의문의 윤곽을 잡아가고 있는 듯합니다. 앞의 글에 소개한 “천국의 음악‘이라 이름 붙인 피타고라스의 직관으로부터 양자당구대에 이르기 까지, 수리와 물리의 연관성을 탐구하면서 소수와 물리가 서로 연관되는 양상은 알 수 있게 되었습니다.
그런데 제타함수를 보면 소수가 물리에 연관성을 갖는 것은 소수 자체가 아니고, 소수의 유리수등분 즉 1/p 형태라는 것을 명확히 알 수 있습니다. 제타함수는 유리수로만 구성된 유리수의 형태이고, 유리수의 형태의 경로가 전자의 에너지 레벨이 서로 반발하는 성질을 갖도록 만들고, 양자당구대의 결과는 유리수등분 중에서 소수 등분으로 양자당구대를 분할하여 (뫼비우스의 띠와 같이) 순환하는 경로만 제자리로 돌아오고, 원극성을 갖는다는 것을 발견합니다. 다시 말하면, 전자가 원극성의 경로를 갈 때만 ‘수의 원자’가 된다는 것을 보입니다. ‘수의 원자’라는 개념은 수리적으로 조직되는 규칙성의 요소이라고 봅니다.
제타함수로 본 전자의 운동은 ‘유리수등분’과 ‘원극성’에 의하여 카오스 양자물리와 연관되는 것을 봅니다.
여기서 대칭성이 깨짐이 ‘수의 원자’라는 기본적인 요소로 규칙성의 시초를 보았고, 다음 글에서는 이 성질을 바탕으로 카오스 양자물리에서 전자들이 창발을 이루며 차원상승이 이루어지는 것을 보게 될 것입니다. 제타함수는 대칭성 깨짐은 무한히 복잡해지지 않고, 1/p의 형태로 정렬되는 소수의 불변성에 의해서 자연의 창발성이 “규칙성”을 갖는 것이 가능한 것입니다.
?
?
?
세 번째 안정성은 위 의문들 중에서 다음의 의문과 관련이 있습니다.
?
DNA는 어떻게 이토록 정교하게 복제되고 RNA로 전사되는가?
아미노산사슬은 어떻게 이토록 엄밀한 규칙을 유지하는가?
혼돈의 파국을 이겨내고 고도의 질서를 유지하는 시스템이 자발적으로 생겨날 수 있는가.
?
수리가 대칭성을 바탕으로 규칙성이 대칭성 깨짐에도 불구하고, 카오스의 혼란을 이기고 조화를 이루는 ‘안정성’이라는 성질이 되는데, 이것을 제타함수에서 찾습니다. 제타함수가 좌변의 유리수식에서 우측의 소수등분의 식으로 정리 되어 안정성을 갖게 된다고 봅니다.
제타함수는 좌변은 유리수의 더하기 형식이고, 우변은 소수등분의 곱의 형식입니다. 더하기 형식은 다수의 합이라는 것이고, 곱하기는 하나로 된다는 것을 의미합니다. 비유하면, 우변은 사과 10개라는 것이고, 좌변은 사과 주스 1병이라는 것과 같습니다. 사과 10개의 합은 사과를 각각 하나씩 다시 나눌 수 있지만, 사과주스 1병은 사과 10개로 다시 나눠 놓을 수 없습니다. 엄밀히 말하면, 제타함수는 화살표로 양변을 이어야지 등호로 표시 할 수 없다고 할 수 있습니다. 알랭 콘느가 비가환기하학으로 제타함수를 해결해 보려는 생각이 생기는 것은 제타함수의 이런 성질 때문인 것으로 생각해 보기도 합니다.
안정성은 다수의 유리수 등분이 소수의 등분으로 화합되어 원극성을 갖는 하나의 체(一體)를 형성하는 성질에 의하여 ‘정보공유’라는 현상이 생기게 되고, 자연이 카오스를 이기고 안정성을 갖게 된다는 생각을 갖게 합니다.
사실 ‘정보공유’라는 생각까지 가기 위해서는 다음 글까지 가야 합니다.
?
네 번째 주체성은 위 의문들 중에서 다음의 의문과 관련이 있습니다.
?
DNA와 단백질은 어떻게 오류 없이 상호작용하는가?
어떻게 무수한 세포는 서로 상호작용하면서, 정보를 차곡차곡 빈틈없이 전개해 나가고, 보다 거대한 개체의 질서를 확보하는가.
사실상 위 의문 전체가 주체성에 연결된다고 할 수 있습니다.
?
주체성은 가장 어려운 문제입니다.
이 의문은 자연이 어떻게 ‘의식’을 갖게 되는가라는 가장 어려운 문제로 그 자체가 또 하나의 난제라고 할 수 있을 것입니다. 이 문제 역시 제타함수로부터 단서를 찾으려 합니다. 위 의문을 보면, 자연은 마치 의식을 가지고 있는 것처럼 일어나기 매우 희박한 선택하고 능동적으로 그 과정을 수행하는 것처럼 보입니다.
자연은 생물학에서도 흔히 보이지만, 물리학에서도 극히 어려운 선택을 컴퓨터보다도 정확히 찾아냅니다. 이러한 선택을 찾아내는 능력과 올바른 경로를 찾아가는 능동성을 ‘주체성’이라고 할 수 있습니다.
주체성은 불변성인 대칭성을 바탕으로 유리수등분에 의해 생긴 규칙성과, 규칙성이 만든 원극성으로 생긴 안정성에 바탕을 두고 형성될 것으로 봅니다. 앞의 글에서 카오스당구대에서 에너지가 반발하는 성질과 원극성을 갖는 것에서 주체성의 단서는 발견되지만, 주체성이라는 난제를 해설하기 위해서는 제타함수를 해설한 책들을 인용하는 것만으로는 부족하고, 카오스 양자물리를 보는 또 하나의 글이 필요 합니다.
?
