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제타함수를 어떻게 볼 것인가?

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앞의 글에서 수학사를 관통하는 고대로부터 현재에 이르는 오랜 동안 수많은 수학자들이 리만가설의 난제에 빠져들었지만, 결국은 수학의 가장 궁극의 의문이라고 할 수 있는 제타함수에 대한 올바른 해석에 도달하지 못한 것으로 보입니다.

제타함수를 올바르게 해석하는 것은 리만가설을 증명하는 것이라고 할 수도 있지만, 그동안의 방법의 연장선에서는 이 가설을 증명하는 것은 사실상 거의 불가능한 것으로 보입니다. 한 가지 이유는 이 함수가 무한급수의 형태이기 때문에 무한히 많은 제타함수의 비자명한 근의 실수부가 1/2 선위에 있는 것을 보이더라도 이 함수의 자명하지 않은 근의 실수부가 1/2를 벗어나지 않는 것을 증명할 수는 없었다는 것입니다. 이런 이유로 리만가설을 증명하려고 하기 보다는 제타함수의 의미를 찾는 것이 좋겠다고 생각됩니다. 사실 수학자들의 물음에 괴델도 현대수학이 떠받드는 공리체계가 리만가설을 증명할 정도로 넓지 않을 수 있고, 그렇다면 마냥 위로 한없이 뻗어 올라가는 것으로 이 가설에 대한 연결고리도 찾지 못할 수도 있다고 하였습니다.

다만 알랭 콘느는 수학적 실체는 인간의 마음과 상관없이 원형 그대로 영원하며, 그 핵심에서 불변의 소수목록이 발견된다고 합니다. 그는 수학은 의심할 바 없이 유일한 보편언어다. 우주의 어느 저편에 다른 종류의 화학과 생물학이 있으리라고 상상할 수 있지만, 우주의 어디를 둘러보더라도 소수는 여전히 소수일 것이다라고 합니다. 나도 앞의 글에서 기수법이 바뀌더라도 소수는 수의 원자로서 변함없이 수체계에 공급되어야 한다고 생각하였습니다. -----<A>불변성

이런 의미에서 리만가설이 성립하느냐 여부를 떠나서 제타함수와 물리와의 관련성을 살피는 의미는 가장 중요한 진리의 추구의 중심이라고 생각합니다. 이 글은 마커스 드 사토이의 ‘소수의 음악’에서 소개되는 소수와 제타함수와 관련된 내용 중에서 이 함수의 수리적, 물리적 의미를 추적하며, 수리와 물리의 연관성을 찾는 방향으로 씁니다.

특히 앞의 글‘GENOME EXPRESS'을 읽고’라는 글에서 제시한 자연이 구성되는 바탕으로 여겨지는 4 가지 성질인 불변성, 규칙성, 주체성, 안정성을 찾는데 집중할 생각입니다. 이 글에서 특히 이것과 관련성이 보이는 부분을 글자색깔을 바꾸고 부호로 표시를 하였습니다. 해설은 글을 바꿔서 다음 글에서 하도록 하겠습니다.

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소수와 관련이 있는 첫 사례는 피타고라스가 음악과 수학 사이에 어떤 관계가 있다는 깨달음을 얻었다는 이야기가 나옵니다. 항아리에 물을 채우고 망치로 두드렸을 때, 항아리 안에 물이 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ...로 남아 있을 때 화음이 이루어진다는 것을 발견했다는 것입니다. 이렇게 우주가 음악에 의해서 제어된다는 생각에서 천상의 음악이라고 불렀습니다.

오일러도 음악을 수학의 일부로 편입하려고 하였다고 하며, 어떤 음이 아름답게 들리는 이유의 배경에는 소수가 있을 것이라고 생각합니다. 음악의 물리적 원리는 수학적 기초와 관련이 있다고 합니다. 예를 들어, 각 악기가 고유의 소리를 내는 이유는 악기가 내는 배음 구조와도 관련이 있다고 합니다. ----<B>규칙성

클라리넷은 기본음에 더하여 3배, 5배, 7배로 홀수 배로 올라가고, 바이올린은 현을 켜면 진동수가 2배, 3배, 4배 .... 로 자연수 배음이 만들어 진다고 합니다. 진동수가 2배, 3배, 4배 ....로 자연수 배음이 만들어 진다는 것은 바이올린 줄이 1/2, 1/3, 1/4......로 조화수열을 이루고, 이 수열이 제타함수를 만든 생각의 바탕이 되는 것으로 보입니다.

리만이 만든 제타함수의 모습은 아래식과 같습니다.

1/2^x+1/3^x+1/4^x+1/5^x...... 1/n^x

=[(1-1/2^x)*1/(1-1/3^x)*1/(1-1/5^x)*1/(1-1/7^x)......*1/(1-1/p^x)]^-1

이식은 아래와 같이 줄여서 표시하기도 합니다.

∑1/n^s =∏p^s/1-p^s

ζ(s)=∏(1-p^-s)^-1

왼편은 디리클레 덧셈이라고 하고, 오른편 식은 오일러의 곱셈이라고 칭하기도 합니다.

이 식에서 지수인 x값을 구하면 5차원의 그래프가 그려지는데, 5차원그래프는 표시할 수 없으니, 책에서 보는 것처럼 단순한 3차원그래프로 표시하여 이 그래프의 가장 낮은 면인 ‘해수면’에 접하는 점들이 제타함수의 근입니다. 이 중에서 지수가 1이 되는 자명한 근을 제외한 비자명한 근만을 의미 있게 봅니다. 이 점들은 그래프로 표시하며, 이것을 음악으로 전환하면 소리굽쇠의 소리처럼 순수한 사인파에 해당하고, 이 음들을 동시에 울리면, ‘소수의 음악된다고 합니다. ----<B>규칙성

마이클 베리는 이 음악을 마치 외계에서 들려오는 pulsar sounds가 내는 소리와 비슷한 음으로 들려주며, ‘소수의 음악’이라고 부릅니다.

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둘째는 ‘양자드럼’입니다. -- p434

바이올린의 현이 줄을 그을 때 나오는 소리의 배음은 ‘하모닉스’라고 하는 기본 배음 구조이지만, 드럼의 소리는 드럼의 모양, 가죽이 당겨진 정도, 외부 기압, 등 여러 요소에 의한 각각의 무수한 파동이 엉겨서 생긴 ‘면상의’ 하모닉스입니다. 18C 과학자인 에른스트 클로드니는 드럼소리의 복잡성을 듣는 것이 아니라 보는 방법을 고안했습니다. 정사각형금속판을 바이올린 활로 긁어서 낱낱의 진동을 골라내는 방법인데, 이 금속판에 모래를 깔아서 여러 기본 기본진동 패턴을 눈으로 볼 수 있게 된 것입니다.

1920년에 물리학자들은 드럼의 진동을 묘사하는 수학이 원자 안에서 진동하고 있는 전자의 에너지 레벨을 예측하는 데에도 쓰일 수 있다는 사실을 깨닫습니다. 드럼이 내, 외부 조건의 변화에 따라 소리가 달라지듯, 원자가 붙드는 힘의 변화는 전자의 진동으로 나타나서 클로드니의 드럼테두리와 같다는 생각입니다. 이 방법은 주기율표상의 원자의 전자 진동패턴에 따라 원자를 알아내는 방법이 됩니다. 양자역학은 수소의 원자는 분석해서 알 수 있었습니다. 수소 전자의 의 진동수들은 바이올린의 배음처럼 단순한 것이었습니다. 그러나 주기율표상의 다른 칸으로 가면, 수학적으로 엄밀히 해결할 수 없는 ‘드럼’을 만나게 되는 것입니다. 더구나 원자가 92개의 양성자, 146개의 중성자인 우라늄238을 만나면 물리학자는 길을 잃고 맙니다. 이 때 수학적드럼은 너무 복잡해서 그려낼 수 없었습니다.

1950년대 이런 복잡한 문제를 해결하는 방법이 개발되었는데, 유진위그너와 레프 란다우는 너무 복잡해서 개별적인 진동수를 알아내지 못한다면 이를 포기하는 대신 전체적인 분포를 통계적으로 분석하는 것을 제안합니다.

위그너와 란다우는 드럼의 모습을 바꿀 때, 진동수들의 통계적 결과도 심하게 변하는지 조사해 보기로 하였습니다. 대부분의 드럼은 그렇지 않는 것으로 드러났습니다.

우라늄원자핵이라고 유별나지는 않을 것으로 생각하고 조사한 결과 이들의 예측은 적중했고, 통계적 자료와 일치했습니다. 특히 우라늄 원자핵과 에너지 레벨 간격들은 마치 서로 반발하는 듯한 모습이 뚜렷이 보였습니다.

이들의 생각은 프린스턴에서 다이슨과 몽고메리가 만나 대화를 나누던 중에 그토록 흥분했던 바로 그 이유를 알게 됩니다. 리만지형의 영점과 원자핵의 에너지 레벨이 기이하게 일치하는 지점을 발견한 것입니다. ----<B>규칙성

리만의 영점이 한 줄로 늘어서는 이유와 양자역학의 요구가 일치하는 것을 보게 되는 것입니다. 이 결과는 무거운 원자핵, DNA염기서열, 유리의 성질 등 다른 미해결 문제의 해결에도 도움이 될 것이라는 예상이 되었습니다.

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셋째는 양자당구입니다.

그런데 몽고메리가 다시 분석한 결과, 리만지형에 자리 잡은 영점의 원천은 양자드럼인 듯 보였지만, 이를 분명히 설명해 줄 근거는 거의 없었습니다. 오들리즈코도 새로운 계산법을 적용해 보았습니다. ‘수분산’이라는 통계적 측도에 대한 그래프를 조사합니다. 리만의 영점을 그래프로 그려서 임의적인 양자드럼을 보여주는 그래프와 비교해 보니 균열이 보입니다. 두 그래프는 처음에는 일치하는 듯했는데, 계속 이어지는 부분에서는 불일치가 부각됩니다.

계산상의 실수는 없었고, 근본적인 문제로서, 20세기 새로운 주요 논제인 “카오스이론‘이 리만지형에 영양을 미치고 있는 것으로 보였습니다. ‘카오스‘란 어떤 동역학계가 초기조건이 매우 민감하게 반응하는 현상입니다. 프랙터의 난해성을 설명하는 이론인, 카오스이론의 배경으로 자리 잡은 수학적 메커니즘을 잘 보여주는 것이 ‘당구’라고 합니다. 예를 들어 직사각형의 보통 당구대에서는 결정적이고 카오스 현상이 보이지 않는데, 마라톤 트랙 같은 모양의 당구대에서는 상황이 달라지는 것입니다. 이 모양의 당구대에서 공의 각도를 조금만 다르게 치면 시간이 지날수록 경로가 엄청나게 달라지는 것입니다.

1970년대 카오스에 대한 수학이 떠오르자 양자물리학들도 관심을 갖게 되고, 이 문제와 연관성을 생각하게 되었습니다. 특히 파동과 입자의 이중성과 관련해서 만약 당구 게임을 원자규모로 축소하면 어떤 일이 벌어지게 될지의 문제에 집중하였습니다. 반도체를 이용하여 미세한 공간에 수백 개의 양자당구대를 만들어 이 양자 당구대에서 전자가 어떻게 움직이는지 관찰합니다. 사실상 컴퓨터 칩에서 정보가 이동하는 것은 전자가 이와 같은 운동으로 이루어지기 때문입니다. 그런데 이 때 전자는 트랙에 갇히게 되고, 이것은 완전히 자유롭지 않아서 원자핵에 묶인 전자와 같은 상황이 됩니다. 원자핵에 묶인 전자가 독특한 진동수를 갖게 되듯이, 당구대위의 전자도 독특한 진동수를 가질 수 있다는 예상을 했습니다.

그런데 결과는 오히려 직사각형의 당구대에서 움직이는 전자는 불규칙한 임의적인 운동을 보여 주고, ‘트랙 모양의 당구대위의 전자의 움직임은 오히려 임의적이지 않고 훨씬 균일한 분포를 보여 주었습니다.

여기서 에너지들이 서로 반발한다는 기이한 현상을 다시 발견하게 됩니다. 흥미롭게도 소수의 비밀이 카오스적인 양자게임과 같다면, 소수는 양자당구대 위의 특별한 경로들 가운데 어떤 것들은 당구대 위 전자의 특별한 경로로 표현됩니다. 어떤 경로들은 당구대를 몇 바퀴 돌다가 제자리로 돌아옵니다. 그리고 소수는 이런 경로들로 표현되는 것으로 보입니다. 이 경로들은 하나의 소수에 해당하는데, 되돌아오기 까지 긴 여행을 하는 경로일수록 그만큼 큰 소수를 나타냅니다. ---<C>안정성:

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마이클 베리는 소수라는 주제에 수학자들이 빠지기 쉬운 물리적 직관을 불러들입니다. 리만은 소수를 파동함수로 변화시켰는데, 베리는 이 파동을 추상적인 음악이 아니라 실제로 들을 수 있는 음악으로 들려줍니다. 그는 아마 (외계에서 들려오는 ‘pulsar sounds‘와 비슷했을) 낮게 들끓는 소리를 들려주었습니다. 그는 이 소리를 ‘포스트모던 계열의 음악’이라고 평했습니다.

베리의 새로운 해석은 과학의 세 가지 위대한 분야를 결합하는 것으로 보입니다. 이들은 미시적 세계에 대한 양자물리학, 예측불가능성에 대한 카오스이론, 산술의 원자인 소수의 이론이 그것입니다. 어쩌면 리만이 소수의 세계에서 찾아내고자 했던 질서가 바로 양자카오스이론으로 표현된 것일지도 모른다는 것입니다. ---<B>규칙성

수학자들은 리만의 영점이 진동이라는 증거를 확보했다고 생각했지만, 그러나 그 진동의 진원은 알 수 없었습니다. 수학자들은 어쩌면 그것은 순수한 수학적 존재여서 물리적 모델이 없을지도 모른다고 생각합니다. 그러나 베리는 찬성하지 않습니다. 그는 리만의 영점에 대한 수학적 이론이 모순 없이 자리 잡는다면, 그에 상응하는 에너지레벨을 가진 물리적 모델이 반드시 수반되어야 한다고 믿습니다. ---- <B>규칙성

“누군가가 영점들의 원천을 발견하면, 그가 영점들을 만들어 내리라는 것은 의문의 여지가 없다. 영화 콘택트에서 들리는 소수신호는 (만약 정말 듣게 된다면,) 외계인의 신호가 아니라 중성자성의 신호일 것이다.” 라고 말합니다. ---사실 요즘 외계의 별의 진동을 youtube 에서 ‘pulsar sounds’로 듣고 있습니다.

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이 뒤에 중요한 연구로 알랭 콘느의 비가환 기하학에 대한 연구도 소개되고 있습니다. 알랭 콘느는 양자물리학자과 끈이론가들이 찾는 기하학을 구축할 수학적 기초를 내놓았습니다.

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결국 이 책의 이렇게 결론을 내리고 있습니다.

“소수는 산술의 원자라는 기본적인 지위를 뛰어넘어 중요한 지위에 올라섰다. 소수들은 그동안 서로 관계가 없는 듯이 보이던 수학의 여러 영역을 한데 엮어 냈다. 수론, 기하학, 해석학, 확률론, 양자역학--이 모든 분야가 리만가설의 해결에 동원되었다. 여기서 나온 결론들은 수학에 새로운 빛을 던졌다. 수학은 패턴의 학문에서 관계의 학문으로 옮아가고 있다.”

소수는 수학의 핵심이며, 다른 모든 것을 내는 기본요소라고 합니다. 그럼에도 리만가설이 증명될 전망은 없어 보이는데 절망합니다. 이 근본적인 수들이 우리 능력 저 너머에 있을 것이라는 것을 받아들여야 한단 말인가?

“어쩌면 우리는 너무나 오랫동안 가우스와 리만의 관점에 붙들려 살아온 것은 아닌가? 어쩌면 우리는 이 신비한 숫자들을 다른 관점으로 쳐다볼 생각을 하지 못할 수도 있다. 여기서 벗어나면, 지금껏 보지 못한 새로운 관점이 드러날 수도 있을 것이다.”

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