소수에 대한 생각

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‘콘택트’라는 영화를 보았다면, 직녀성에서 소수(素數)신호가 오는 것을 해독하고, 과학자들이 너무 놀라고, 흥분하는 장면을 보았을 것입니다. 수학책에서 소수를 이야기할 때, 자주 이 영화를 인용해서 소수와 물리학이 연관이 있다는 이야기를 합니다. 이 영화는 만약 어떤 신호가 소수로써 우주에서 온다면, 그 신호는 지적생명체가 보낸 신호일 것이라는 단서를 이용하고 있습니다.

그런데, 내가 이글을 쓰는 목적은 “소수와 물리가 어떤 관련이 있을까?”라는 의문을 이야기하는 것입니다.

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이 의문을 풀기 위해서는 제타함수(Riemann zeta function) ζ(s)를 들여다보아야 합니다.

짧은 글로 이 제타함수를 설명하기는 곤란하여 다음영상을 보시기를 권합니다.

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https://www.youtube.com/watch?v=X5iIk4p6vtE&feature=share

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이 영상은 수학자들의 고대로부터 현대에 이르는 오랜 동안 소수에 대한 가져온 관심과 이를 규명하려는 노력을 정리한 것입니다. 이 영상은 매우 오래된 소수에 대한 생각에서 출발해서 제타함수가 탄생하게 되는 과정과 제타함수를 해설하는 논의의 중심인 리만가설에 얽힌 수학사의 이야기를 보여주고 있습니다. 우리는 여기서 수많은 수학자의 도전과 절망을 보게 됩니다.

위 사이트에서 보는 중요한 주제로만 보면,

우리가 수학을 하기 시작한 고대부터 소수에 대한 관심이 있었다는 것입니다. 정수가 소수의 곱으로 나타낼 수 있다는 성격을 근거로 소수를 ‘수의 원자’라고 칭합니다. 소수를 관찰하면, 소수가 나타나는 패턴이 일정한 규칙이 없고, 일정한 규모(10^n)로 관찰하면 어떤 규칙이 보인다는 것을 알게 되어 이 규칙을 소수가설이라고 하며, 이 규칙성을 명확히 아는 것을 소수에 대한 연구의 목적으로 하는 것으로 보입니다. 리만가설을 정확히 알게 되면, 소수가설이 해결된다고 보고 있습니다.

또, 하나의 줄기는 리만 가설을 푸는 과정에서 발견된 수식이 입자물리에서 발견하는 수식과 유사하다는 것을 바탕으로, 리만가설이 물리학과 관련이 있는 것으로 보인다는 것입니다. 만약 리만가설이 풀리게 되면, 물리학이 지금까지 풀지 못한 많은 문제들을 해결하는 새로운 통로가 열릴 가능성이 있을 수 있다고 합니다. 이 영상의 내용이후로도 수학자들의 노력은 계속되었지만, 아직도 리만가설은 해결되지 않고 있습니다.

이 영상이 소개하는 알랭 콘느의 비가환기하학 이후의 진전인 최근의 내용은 에드워드 프렌켈 저서인 Love and Math(반니 발행)에서 볼 수 있습니다. 이 책의 뒤 부분(17. 숨겨진 연관성을 밝히다)에, 정상급 수학자와 물리학자들 몇 명이 대단한 연구비를 지원받아서 랭글랜즈 프로그램을 중심으로 리만가설에 도전하는 이야기가 나옵니다.

여기서 ‘대단한’ 연구비는 3 년 동안 진행하는 프로젝트에 수백만 달러입니다. 수백만 달러는 물리학의 문제에 관한 프로젝트였다면 대단하지 않다고 할 수 있겠지만, 수학에 대한 과제이니까 대단한 금액이라고 할 수 있을 것입니다.

이 프로젝트에 참여한 ‘정상급 수학자와 물리학자’로는 그 책의 저자인 Edward Frenkel를 비롯해서, 랭글랜즈 프로그램을 만든 로버트 랭글랜즈, 끈이론의 대부인 에드워드 위튼, 나탄 자이베르크, ‘블랙홀 전쟁’에서 본 후안 말다세나, 피에뉴 들리뉴, 로버트 맥퍼슨 등 수학과 물리학의 정상급 학자들이 참여하였습니다.

결론만 얘기하면, 이 책의 저자인 프렌켈은 리만가설을 해결하는 마지막 방법이라고 할 수 있고, 수학의 대통일이론이 될 가능성이 있다고 평가하는 랭글랜즈 프로그램으로 검토한 이 프로젝트가 성과가 있었다고 합니다. 그러나 결국 이 장의 결론 부분에서 우리가 리만가설을 이해하려면, 아마도 이후 50년, 그리고 50년을 더 기다려야 할지도 모른다고 합니다(이 책 p340).

이 결과를 볼 때, 유클리드 차원론을 바탕으로 하는 수학으로는 리만가설을 해결해서 우리가 가지고 있는 궁극적인 의문을 해결하는 길을 발견할 수 있으리라고 생각했던 바람은 어쩌면 난망해 보입니다. 수학계의 최고의 두뇌들이 이 문제를 그토록 오랫동안 검토해 왔고, 이들이 수학의 대통일이론이라고 칭하는 랭글랜즈 프로그램으로도 넘을 수 없었다면, 이제 해볼 만한 수단은 다 해본 것으로 볼 수 있을 것입니다. 100만 달러의 상금이 걸린 밀레니엄 과제이기도한 이 리만가설은 이 가설을 23가지 난제 중에 하나로 추천했던 힐베르트가 그의 사후 500년 후에 다시 깨어나서 리만가설이 해결되었느냐고 물어도 수학계는 아직 풀지 못했다고 대답해야 할지도 모릅니다.

그동안 수학자들이 소수의 문제를 연구한 경로는 존 더비셔의 ‘리만가설’과 마커스 드 사커스의 ‘소수의 음악‘에서 볼 수 있습니다. 우선 수학자들은 소수가 나타나는 개수에 관심이 있습니다. 소수가 나타나는 패턴을 정확히 알면, 즉 소수가설이 입증하는 방법이 리만가설의 증명이라고 합니다. 이 문제를 가우스 이 후 소수가설이라고 합니다. 즉 리만가설을 해결하는 목적은 소수가설을 증명하는 것이라고 합니다.

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그런데 내 생각은,

소수가설은 10진법에서 소수가 나타나는 규칙입니다. 소수가 물리와 관련된다면, 10진법이 아닌 다른 기수법의 수에서도 역시 소수가 나타나야 할 것입니다. 소수가 10진법에서만 나타나는 것인가 아니면, 기수법을 바꾸어 수를 2진법 내지 n진법으로 수를 나타내도 소수가 나타나는가에 대해서 질문은 리만가설을 연구하는 사람들에게 도발적인 질문일 것입니다.

“2진법에서도 소수가 나타날까요? 3진법의 수에서는?”

이렇게 물으면 수학자들이 어떻게 대답할는지 궁급합니다.

10진법으로 나타낸 수에 소수가 있고 이것이 물리와 연관이 있다면, 당연히 다른 기수법에 의해서 나타낸 수에도 소수가 있어야 할 것으로 생각됩니다. 그런데 2진법의 수에 어떻게 소수를 나타낼 수 있을 것인가? 이 질문은 수에 대한 바탕을 묻는 것입니다. 정수론적인 생각으로 수가 만들어진 것이라는 유클리드차원론적인 생각으로 보면 해결하기 곤란한 문제로 보입니다. 그런데 나는 수가 유리수 등분으로 생긴다는 극대칭차원론으로 유리수등분으로 원극적인 수체계를 보였습니다. 유리수등분에 의하여 만들어지고, 원극적으로 펼쳐지는 수체계에서 수를 소수의 곱으로 보는 ‘수의 원자론’으로 보면, 수체계가 무한히 펼쳐지며 확장하기 위해서는 기수법과 관계없이 수의 원자인 소수가 일정한 비율로 공급되어야 할 것입니다. 즉, 계속해서 규칙적으로 소수가 공급되는 것이 무한히 펼쳐지는 수체계가 가능하기 위한 필요조건이 되는 것입니다.

그러므로 기수법이 바뀌면, 우리가 직관적으로 소수를 파악하기 어려워도 기수법과 관계없이 소수는 계속 공급이 되어야 한다고 할 수 있습니다. 소수가설이 기수법에 관계없이 성립해야합니다.

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이런 생각을 바탕으로 제타함수에 대한 내 생각을 다음 글에서 이야기하려고 합니다.

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